Bidang matematika telah banyak melahirkan teori yang bersifat praktis–bisa diterapkan di berbagai bidang/aspek kehidupan lainnya. Salah satunya adalah game theory. Teori ini dicetuskan pertama kali oleh John von Neumann pada awal abad ke-20, yang kemudian berkembang lagi dengan kontribusi dari ilmuwan penting lainnya, seperti Oskar Morgenstern dan John Nash.
Anda mungkin mengira teori ini berkaitan dengan sebuah permainan tertentu karena adanya kata “game” di situ. Anggapan seperti itu tidak sepenuhnya salah. Hanya saja, istilah “game” di situ lebih dimaksudkan untuk situasi di mana individu, perusahaan, atau entitas lain berinteraksi dan membuat keputusan berdasarkan kepentingan mereka, dengan mempertimbangkan potensi tindakan dan tanggapan orang lain.
Oleh sebab itu, pihak-pihak tersebut menjadi salah satu elemen kunci dalam teori ini. Mereka adalah para pemainnya (players). Di antara elemen-elemen kunci lainnya dalam teori ini adalah strategi (strategies), imbalan/hasil (payoffs), dan informasi (information).
Game theory (teori permainan) membantu menganalisis dan memahami elemen-elemen ini dan bagaimana mereka berinteraksi. Tujuannya adalah untuk memprediksi hasil pengambilan keputusan strategis dalam berbagai skenario.
Teori ini sangatlah praktis sampai-sampai kita bisa mengaplikasikannya tidak hanya pada bidang matematika, melainkan pula pada bidang ekonomi, keuangan, politik, dan bidang lainnya. Selama di situ melibatkan persaingan, kerja sama, dan perilaku strategis di antara individu dan organisasi, di situ pula kita bisa menggunakan game theory untuk mempelajarinya (sebagai contoh, seperti tulisan saya yang ini).
Jadi, kata “game” digunakan karena situasinya sering kali melibatkan elemen strategi, kompetisi, dan pengambilan keputusan, seperti halnya sebuah permainan pada umumnya. Namun, game theory lebih dari sekedar permainan rekreasional, ia adalah teori yang berguna bagi situasi kehidupan yang lebih luas.
Apabila teori ini kita anggap sebagai sebuah bab dalam sebuah mata kuliah, akan ada banyak sekali subbab atau gagasan spesifik yang bisa kita bahas di dalamnya, semisal zero and non-zero-sum game, Nash Equilibrium, bayesian game, teorema Folk, teori pelelangan, dan masih banyak lagi. Untungnya, semua gagasan itu berangkat dari konsep dasar yang sama (dan cukup sederhana).
Pertama-tama, kita harus tahu bahwa “permainan” menurut sifatnya terbagi menjadi beberapa jenis. Pertama adalah permainan kooperatif. Dalam jenis permainan ini, pemain dapat berkomunikasi dan membuat perjanjian yang mengikat untuk mencapai hasil yang diinginkan bersama. Fokusnya adalah pada pembentukan koalisi dan pembagian keuntungan.
Kedua, permainan non-kooperatif. Di sini, pemain tidak dapat membuat perjanjian yang mengikat dan harus membuat keputusan secara independen. Fokusnya adalah pada strategi individu dan interaksi kompetitif.
Kita bisa menggunakan contoh yang sederhana untuk bisa memahami konsep game theory, sekaligus memahami bagaimana cara kerja kedua jenis permainan tadi. Contoh itu terkenal dengan sebutan Prisoner’s Dilemma.
Contohnya seperti ini: Anggap terdapat kasus di mana dua orang (A dan B) ditangkap polisi karena diduga merampok sebuah toko. Akan tetapi, polisi hanya bisa membuktikan bahwa mereka hanya masuk tanpa izin (tidak ada bukti mereka sudah merampok). Jadi, polisi berharap salah satunya untuk mengaku (telah merampok).
Beberapa kondisi mungkin dihasilkan dari situasi ini, antara lain:
- Jika tidak ada yang mengaku, polisi hanya bisa menuntut mereka dengan pasal pelanggaran karena masuk tanpa izin, bukan perampokan, dan hukuman untuk kedua orang itu adalah 1 tahun penjara, masing-masing.
- Jika salah satunya mengaku dan yang lain tidak, polisi akan bersikap lunak terhadap si pengaku dan menghukum berat si pendiam. Hukumannya adalah 0 tahun penjara untuk si pengaku dan 12 tahun penjara untuk si pendiam.
- Jika keduanya mengaku, polisi akan menghukum mereka berdua secara setara, dengan hukuman 8 tahun penjara, masing-masing.
Dengan demikian, elemen-elemen kunci dalam contoh ini adalah:
- Players: A dan B.
- Information: sebagaimana yang disebutkan di atas.
- Strategies: mengaku atau tidak mengaku.
- Payoffs: hukuman penjara paling ringan (tergantung strateginya).
Kita bisa menggunakan matriks untuk memudahkan menentukan payoffs terbaik untuk contoh kasus ini, sebagaimana berikut:
B mengaku | B tidak mengaku | |
A mengaku | (1, 1) | (0, 12) |
A tidak mengaku | (12, 0) | (8, 8) |
Sekarang semua menjadi lebih jelas bahwa hukuman paling ringan yang bisa didapatkan masing-masing pemain adalah 0 tahun. Akan tetapi, ini akan sangat bergantung respons/tanggapan keduanya secara simultan, dan sepertinya akan sulit untuk dicapai.
Dari perspektif probabilitas matematika, kita bisa mengasumsikan bahwa pemain A dan pemain B memiliki probabilitas yang sama untuk memilih opsi tersebut. Namun, tanpa adanya kolusi atau informasi tentang keputusan pihak lain, kedua pemain cenderung akan mengaku untuk meminimalkan risiko hukuman yang lebih berat.
Secara matematis, hasil dari jenis permainan non-kooperatif ini bisa dijelaskan oleh Keseimbangan Nash (Nash Equilibrium). Singkatnya, Nash Equilibrium berbicara tentang strategi dominan yang mungkin dipilih masing-masing pihak (selengkapnya, akan saya bahas di kesempatan khusus nanti).
Dengan asumsi semua pemain adalah rasional, mengaku adalah (jelas) strategi terbaik, baik bagi A maupun B. Sehingga, ini adalah strategi dominan yang akan dipilih masing-masing pemain dan mengimplikasikan bahwa kedua pemain akan mengaku dengan probabilitas 1 atau 100%, menurut Nash Equilibrium.
Sementara, probabilitas masing-masing pemain agar berhasil mendapatkan payoffs terbaik (hukuman 0 tahun penjara dan yang lainnya 12 tahun penjara) di sini adalah 50% dan probabilitas masing-masing pemain mendapatkan payoffs terbaik kedua (hukuman 1 tahun penjara masing-masing) adalah 25%.
Angka-angka tersebut bisa kita hitung menggunakan konsep probabilitas matematika, yang tentunya akan saya bahas di kesempatan khusus juga. Bagaimanapun, contoh matriks di atas saja sudah cukup membantu kita memahami tentang konsep game theory.
Selebihnya, kita hanya perlu melakukan percobaan dan menggunakan kreativitas kita untuk membuktikan seberapa berguna konsep ini untuk diaplikasikan pada aspek kehidupan kita yang lain.
Anda tertarik mencobanya? Semoga hasilnya memuaskan ya!